Рассмотрим основные операции над отношениями, которые могут представлять интерес с точки зрения извлечения данных из реляционных таблиц. Это объединение, пересечение, разность, расширенное декартово произведение отношений, а также специальные операции над отношениями: выборка, проекция и соединение.
Для иллюстрации теоретико-множественных операций над отношениями введем абстрактные отношения (таблицы) с некоторыми атрибутами (полями).

CREATE TABLE R
(a1 CHAR(1), a2 INT, PRIMARY KEY(a1,a2))

CREATE TABLE S
(b1 INT PRIMARY KEY, b2 CHAR(1))
Операции выборки и проекции являются унарными, поскольку они работают с одним отношением.
Операция выборки
Операция выборки - построение горизонтального подмножества, т.е. подмножества кортежей, обладающих заданными свойствами.
Операция выборки работает с одним отношением R и определяет результирующее отношение, которое содержит только те кортежи (строки) отношения R, которые удовлетворяют заданному условию F (предикату).
σF(R) или σпредикат(R).
Пример 5.1. Операция выборки в SQL.
Выборка σ(a2=1)( R )={(a, 1), (b, 1)} записывается следующим образом:
SELECT a1, a
FROM R
WHERE a2=1
Операция проекции
Операция проекции - построение вертикального подмножества отношения, т.е. подмножества кортежей, получаемого выбором одних и исключением других атрибутов.
Операция проекции работает с одним отношением R и определяет новое отношение, которое содержит вертикальное подмножество отношения R, создаваемое посредством извлечения значений указанных атрибутов и исключения из результата строк-дубликатов.
Πa1, a2,... an( R )
Пример 5.2. Операция проекции в SQL.
Проекция Πb2(S)={(h), (g)) записывается следующим образом:
SELECT b2
FROM S
К основным операциям над отношениями относится декартово произведение.
Декартово произведение
Декартово произведение RxS двух отношений (двух таблиц) определяет новое отношение - результат конкатенации (т.е. сцепления) каждого кортежа (каждой записи) из отношения R с каждым кортежем (каждой записью) из отношения S.
RxS={(a, 1, 1, h), (a, 2, 1, h),
(b, 1, 1, h), ... }
SELECT R.a1, R.a2, S.b1, S.b2
FROM R, S
Результат декартова произведения двух отношений показан в таблице.

Если одно отношение имеет N записей и K полей, а другое M записей и L полей, то отношение с их декартовым произведением будет содержать NxM записей и K+L полей. Исходные отношения могут содержать поля с одинаковыми именами, тогда имена полей будут содержать названия таблиц в виде префиксов для обеспечения уникальности имен полей в отношении, полученном как результат выполнения декартова произведения.
Однако в таком виде () отношение содержит больше информации, чем обычно необходимо пользователю. Как правило, пользователей интересует лишь некоторая часть всех комбинаций записей в декартовом произведении, удовлетворяющая некоторому условию. Поэтому вместо декартова произведения обычно используется одна из самых важных операций реляционной алгебры - операция соединения, которая является производной от операции декартова произведения. С точки зрения эффективности реализации в реляционных СУБД эта операция - одна из самых трудных и часто входит в число основных причин, вызывающих свойственные всем реляционным системам проблемы с производительностью.

Операция соединения по двум отношениям (таблицам)

Соединение - это процесс, когда две или более таблицы объединяются в одну. Способность объединять информацию из нескольких таблиц или запросов в виде одного логического набора данных обусловливает широкие возможности SQL.
В языке SQL для задания типа соединения таблиц в логический набор записей, из которого будет выбираться необходимая информация, используется операция JOIN в предложении FROM.
Формат операции:

FROM имя_таблицы_1 {INNER | LEFT | RIGHT} 

    JOIN имя_таблицы_2 

ON условие_соединения

Существуют различные типы операций соединения:

• тета-соединение R FS;
• соединение по эквивалентности R=S;
• естественное соединение RS;
• внешнее соединение RS; RS;
• полусоединение RFS.

Операция тета-соединения

Операция тета-соединения RFS определяет отношение, которое содержит кортежи из декартова произведения отношений R и S, удовлетворяющие предикату F. Предикат F имеет вид R.ai Θ S.bj, где вместо Θ может быть указан один из операторов сравнения (>, >=, <, <=, =, <>).
Если предикат F содержит только оператор равенства (=), то соединение называется соединением по эквивалентности.

Операция тета-соединения в языке SQL называется INNER JOIN (внутреннее соединение) и используется, когда нужно включить все строки из обеих таблиц, удовлетворяющие условию объединения. Внутреннее соединение имеет место и тогда, когда в предложении WHERE сравниваются значения полей из разных таблиц. В этом случае строится декартово произведение строк первой и второй таблиц, а из полученного набора данных отбираются записи, удовлетворяющие условиям объединения.
В условиях объединения могут участвовать поля, относящиеся к одному и тому же типу данных и содержащие один и тот же вид данных, но они не обязательно должны иметь одинаковые имена.
Блоки данных из двух таблиц объединяются, как только в указанных полях будут найдены совпадающие значения.
Если в предложении FROM перечислено несколько таблиц и при этом не употребляется спецификация JOIN, а для указания соответствия полей из таблиц используется условие в предложении WHERE, то некоторые реляционные СУБД (например, Access) оптимизируют выполнение запроса, интерпретируя его как соединение.
Если перечислять ряд таблиц или запросов и не указывать условия объединения, в качестве исходной таблицы будет выбрано декартово (прямое) произведение всех таблиц.

SELECT R.a1, R.a2, S.b1, S.b2

FROM R, S

WHERE R.a2=S.b1

    или 

SELECT R.a1, R.a2, S.b1, S.b2

FROM R INNER JOIN S ON  R.a2=S.b1

Естественное соединение

Естественным соединением называется соединение по эквивалентности двух отношений R и S, выполненное по всем общим атрибутам, из результатов которого исключается по одному экземпляру каждого общего атрибута.

SELECT R.a1, R.a2, S.b2

FROM R, S

WHERE R.a2=S.b1

    или  

SELECT R.a1, S.b1, S.b2

FROM R INNER JOIN S ON  R.a2=S.b1

Пример 5.4. Вывести информацию о проданных товарах.

SELECT *

FROM Сделка, Товар

WHERE Сделка.КодТовара=Товар.КодТовара

    Или (что эквивалентно)

SELECT *

FROM Товар INNER JOIN Сделка 

    ON Товар.КодТовара=Сделка.КодТовар

Можно создать вложенные объединения, добавив третью таблицу к результату объединения двух других таблиц.
Пример 5.5. Получить сведения о товарах, дате сделок, количестве проданного товара и покупателях.

SELECT Товар.Название, Сделка.Количество, Сделка.

    Дата, Клиент.Фирма

FROM Клиент INNER JOIN 

    (Товар INNER JOIN Сделка

ON Товар.КодТовара=Сделка.КодТовара) 

ON Клиент.КодКлиента=Сделка.КодКлиента

Использование общих имен таблиц для идентификации столбцов неудобно из-за их громоздкости. Каждой таблице можно присвоить какое-нибудь краткое обозначение, псевдоним.
Пример 5.6. Получить сведения о товарах, дате сделок, количестве проданного товара и покупателях. В запросе используются псевдонимы таблиц.

SELECT Т.Название, С.Количество, 

       С.Дата, К.Фирма 

FROM Клиент AS К INNER JOIN 

    (Товар AS Т INNER JOIN

    Сделка AS С 

ON Т.КодТовара=С.КодТовара) 

ON К.КодКлиента=С.КодКлиента;

Внешнее соединение похоже на внутреннее, но в результирующий набор данных включаются также записи ведущей таблицы соединения, которые объединяются с пустым множеством записей другой таблицы.
Какая из таблиц будет ведущей, определяет вид соединения. LEFT - левое внешнее соединение, ведущей является таблица, расположенная слева от вида соединения; RIGHT - правое внешнее соединение, ведущая таблица расположена справа от вида соединения.

Левое внешнее соединение

Левым внешним соединением называется соединение, при котором кортежи отношения R, не имеющие совпадающих значений в общих столбцах отношения S, также включаются в результирующее отношение.

SELECT R.a1,  R.a2, S.b1, S.b2

FROM R LEFT JOIN S ON R.a2=S.b1

Существует и правое внешнее соединение RS, называемое так потому, что в результирующем отношении содержатся все кортежи правого отношения. Кроме того, имеется и полное внешнее соединение, в его результирующее отношение помещаются все кортежи из обоих отношений, а для обозначения несовпадающих значений кортежей в нем используются определители NULL.

SELECT R.a1,  R.a2, S.b1, S.b2

FROM R RIGHT JOIN S ON  R.a2=S.b1

Пример 5.9. Вывести информацию о всех товарах. Для проданных товаров будет указана дата сделки и количество. Для непроданных эти поля останутся пустыми.

SELECT Товар.*, Сделка.*

FROM Товар LEFT JOIN Сделка 

ON Товар.КодТовара=Сделка.КодТовара;

Полусоединение

Операция полусоединения определяет отношение, содержащее те кортежи отношения R, которые входят в соединение отношений R и S.

SELECT R.a1, R.a2

FROM R, S

WHERE R.a2=S.b1

    или

SELECT R.a1,   R.a2

FROM R INNER JOIN S ON R.a2=S.b1

Операция объединения
Объединение (UNION) RS отношений R и S можно получить в результате их конкатенации с образованием одного отношения с исключением кортежей-дубликатов. При этом отношения R и S должны быть совместимы, т.е. иметь одинаковое количество полей с совпадающими типами данных. Иначе говоря, отношения должны быть совместимы по объединению.
Объединением двух таблиц R и S является таблица, содержащая все строки, которые имеются в первой таблице R, во второй таблице S или в обеих таблицах сразу.
SELECT R.a1, R.a2
FROM R
UNION
SELECT S.b1, S.b2
FROM S
Операция пересечения
Операция пересечения (INTERSECT) RS=R-(R-S) определяет отношение, которое содержит кортежи, присутствующие как в отношении R, так и в отношении S. Отношения R и S должны быть совместимы по объединению.
Пересечением двух таблиц R и S является таблица, содержащая все строки, присутствующие в обеих исходных таблицах одновременно.
SELECT R.a1, R.a2
FROM R,S
WHERE R.a1=S.b1 AND R.a2=S.b2

   или

SELECT R.a1, R.a2
FROM R
WHERE R.a1 IN   
(SELECT S.b1 FROM S
WHERE S.b1=R.a1) AND R.a2 IN
(SELECT S.b2
FROM S
WHERE S.b2=R.a2)
Операция разности
Разность (EXCEPT) R-S двух отношений R и S состоит из кортежей, которые имеются в отношении R, но отсутствуют в отношении S. Причем отношения R и S должны быть совместимы по объединению.
Разностью двух таблиц R и S является таблица, содержащая все строки, которые присутствуют в таблице R, но отсутствуют в таблице S.
SELECT R.a1, R.a2
FROM R
WHERE NOT EXISTS
(SELECT S.b1,S.b2
FROM S
WHERE S.b1=R.a1 AND S.b2=R.a2)
Операция деления отношений
Результат операции деления R:S - набор кортежей отношения R, определенных на множестве атрибутов C, которые соответствуют комбинации всех кортежей отношения S.
T1=ПC( R );
T2=ПC( (S X T1) -R );
T=T1 - T2.
Отношение R определено на множестве атрибутов A, а отношение S - на множестве атрибутов B, причем BA и C=A - B,
Пусть A={имя, пол, рост, возраст, вес}; B={имя, пол, возраст}; C={рост, вес}.

Пример 5.14. Деление отношений в SQL.

• Создание отношения R

• CREATE TABLE R
• (i     int primary key,
• имя    varchar(3),
• пол    varchar(3),
• рост   int,
• возраст int,
• вес    int)

•  
• Создание отношения S

• CREATE TABLE S
• (i     int primary key,
• имя    varchar(3),
• пол    varchar(3),
• возраст int)

• Создание отношения T1

• CREATE VIEW T1
• AS
• SELECT рост,вес
• FROM R

• Создание отношения TT

• CREATE VIEW TT AS
• SELECT S.имя, S.пол, S.возраст,
•        T1.рост, T1.вес
• FROM S, T1

• Создание отношения T2

• CREATE VIEW T2
• AS
• SELECT TT.рост, TT.вес
• FROM TT
• WHERE NOT EXISTS
•     (SELECT R.рост, R.вес
•      FROM R
•      WHERE TT.имя=R.имя AND TT.пол=R.пол
•            AND TT.возраст=R.возраст
•            AND TT.рост=R.рост
•          AND TT.вес=R.вес)

• Создание отношения T

• SELECT T1.рост, T1.вес
• FROM T1
• WHERE NOT EXISTS
•     (SELECT T2.рост,T2.вес
•      FROM T2
•      WHERE T1.рост=T2.рост AND T1.вес=T2.вес